命題3
立方数にそれ自身を掛けてある数を作るならば、その積は立方である。
立方数Aにそれ自身を掛けてBを作るとする。
Bが立方数であることをいう。
Aの辺、Cを取る。CにCを掛けてDを作る。CにDを掛けてAを作ることは明白である。
さて、CにCを掛けてDを作るから、それゆえにCはDをそれ自身の単位により割り切る。しかしさらにその単位はまたCをその単位により割り切り、それゆえにその単位はCに対し同じようにCはDに対する。definitionⅦ．２０
再度、CにDを掛けてAを作るから、それゆえにDはAをCの単位により割り切る。しかしその単位はまたCをその単位により割り切り、それゆえにその単位はCに対し同じようにDはAに対する。しかしその単位はCに対し同じようにCはDに対し、それゆえにその単位はCに対し同じようにCはDに対し、そして同じようにDはAに対する。
それゆえにその単位と数Aの間に２つの比例中項CとDが連続して比例している。
再度、Aにそれ自身を掛けてBを作るから、それゆえにAはBをAの単位により割り切る。しかしその単位はまたAをその単位により割り切り、それゆえにその単位はAに対し同じようにAはBに対する。definitionⅦ．２０
しかしその単位とAの間に２つの比例中項があり、それゆえに２つの比例中項がまたAとBの間にある。propositionⅧ．８
しかし、２つの比例中項が２つの数の間にあり、第1の数が立方数ならば、第２の数もまた立方数である。そしてAは立方数であり、それゆえにBもまた立方数である。propositionⅧ．２３
それゆえに、立方数にそれ自身を掛けてある数を作るならば、その積は立方である。
証明終了